B de Binario, parte 2.

Continuando con el tema "numeros binarios", una vez que uno adquirio cierta practica con los mismos y, considerando que existen solo 2 "posiciones" o numeros (0 y 1) posibles, se puede pasar de binario a decimal y de decimal a binario de una manera bastante mas facil que la demostrada en el post anterior. Lamentablemente no soy muy bueno explicando, asi que voy a hacerlo lo mejor que pueda. En caso que surjan dudas, para eso estan los comentarios.

Este sistema de numeracion tiene la particularidad de agregar 1 digito (comunmente llamado bit) a sus filas cada vez que nos quedamos sin opcion numerica. Como estoy releyendo la oracion anterior y me parece que no tiene ningun sentido, voy a plantear una pregunta y una respuesta. ¿Como se hace el numero 3 en binario? ¿Y el numero 5?
Sabemos que el numero 0, es 0. Y que el 1 es 1. Pero, teoricamente, no sabemos como es el 2, 3, 4, etc.
Para el ejemplo del grafico, vamos a tomar 4 bits (suficiente para hacer hasta el numero 8).



Ahora... la pregunta que surge es: ¿Como podemos hacer el calculo mas rapido que diviendo?
Facil. Si tenemos en cuenta que cada digito binario es 2^n-1 (donde "n" -> es el numero de digito) lo podemos ver asi:



Entonces, vemos que cada bit tiene 2 valores posibles. En el caso del primer bit (recordemos que binario se lee de derecha a izquierda) los valores posibles son:

Si el numero es "1", el valor es 2^0 multiplicado 1.
Sabemos que todo numero elevado a la 0 da como resultado 1. Lo que nos da "1 x 1 = 1"
Si el numero en cuestion fuera "0", la multiplicacion seria "1 x 0 = 0".

Sabemos, entonces, que el primer bit (el de la derecha) va a tener siempre 2 resultados posibles. 0 y 1. Pero... ¿Que tal el resto de los bits?
Bueno, es exactamente la misma cuenta considerando 2^n-1.

El segundo digito sera 2^1.
Los dos valores posibles para este bit seran,
Prendido (1). 2^1 es 2, multiplicado 1 da 2.
Apagado (0). 2^1 es 2, multiplicado 0 da 0.
El tercer digito sera 2^2.
Los dos valores posibles para este bit seran,
Prendido (1). 2^2 es 4, multiplicado 1 da 4.
Apagado (0). 2^2 es 4, multiplicado 0 da 0.
El cuarto digito sera 2^3.
Los dos valores posibles para este bit seran,
Prendido (1). 2^2 es 8, multiplicado 1 da 8.
Apagado (0). 2^2 es 8, multiplicado 0 da 0

Para ir cerrado... ¿De que me sirve todo esto?

Consideremos el ejemplo del numero 7 o "0111". Sabemos que los ultimos 3 bits estan prendidos, asi como tambien sabemos que valor posible tiene cada uno. Estos son 0, 4, 2, 1. Si los sumamos, tenemos como resultado el numero decimal que forman.


En fin, creo que me fui un poco offtopic (o quizas no). Espero que se haya entendido algo de lo que puse, y si no se entendio, bueno... Pregunten. Tengo entendido que va a haber bocha de nerds dispuestos a responder aparte de mi.